Rangkuman Materi

RANGKUMAN MATERI

    Gradien Garis Singgung

    

Dalam subbab sebelumnya telah diketahui bahwa turunan sebuah fungsi merupakan bentuk secara umum dari laju perubahan jarak terhadap waktu. Dinyatakan dalam f(x) dalam bentuk , , lalu apakah arti turunan fungsi f(x) pada x=a secara geometris?
    Secara geometris turunan fungsi y=f(x) dapat ditafsirkan sebagai gradient garis singgung kurva di titik P(x₁,y₁) terletak pada kurva y=f(x) maka persamaan garis singgung kurva yang melalui titik P(x₁,y₁) adalah :

y-y₁= m(x-x₁)   

Dengan gradient m=f’(x₁).
    Tafsiran turunan turunan Fungsi secara geometris tidak berhenti pada gradient garis singgung  saja melainkan berlanjut pada kemonotonan dan kecekungan kurva, nilai ekstrim, hingga menggambar grafik fungsi aljabar. Berikut ini akan diuraikan secara singkat ketiga pokok bahasan tersebut.

    Kemonotonan dan Kecekungan Kurva

    Fungsi naik atau fungsi turun disebut sebagai Fungsi monoton sedangkan fungsi naik atau turun didefinisikan sebagai berikut:

•     Fungsi dikatakan naik jika f(x) naik jika f’(x) > 0
•     Fungsi dikatakan turun jika f(x) naik jika f’(x) < 0

   Jika f’’(x) merupakan turunan kedua fungsi f maka kecekungan fungsi dapat dinyatakan sebagai berikut.

•     Jika f’’(x) > 0, x ∈ I, maka f(x) cekung ke atas pada interval I
•     Jika f’’(x) < 0, x ∈ I, maka f(x) cekung ke bawah pada interval I
•     Jika f’’(x)=0 nutuk x = a berarti fungsi f(x) mempunyai titik belok di titik (a,f(a)).

    Nilai Ekstrim

      Misal diketahui kurva y=f(x) dengan titik (a,b) merupakan titik puncak (titik maksimum atau titik minimum). Garis singgung kurva di titik (a,b) akan sejajar sumbu X atau mempunyai gradient 0 (m = f(a)=0). Titik(a,b) disebut titik ekstrim, nilai x=a disebut titik stasioner, sedangkan nilai y=b disebut nilai ekstrim.

        Definisi:

• Nilai f(a) disebut nilai maksimum pada interval I jika f(a) > f(x) untuk setiap x ∈ I
•  sedangkan  nilai f(a) disebut nilai miniimum pada interval I jika f(a) < f(x) untuk setiap x ∈ I.

    Untuk menentukan jenis nilai ekstrim (maksimum atau minimum) fungsi f dapat dilakukan dengan uji   turunan kedua sebagai berikut.

1.     Tentukan turunan pertama dan kedua fungsi f(x), yaitu f’(x) dan f’’(x)
2.     Tentukan titk stasioner, yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f’(x)=0), misalkan nilai stasionernya x=a

•     Nilai f(a) adalah nilai maksimum jika f’’(a) < 0
• sedangkan nilai f(a) adalah nilai minimum jika f’’(a) > 0.

    Menggambar grafik Fungsi Aljabar

         Dengan mempelajari  turunan fungsi, menentukan, fungsi naik dan fungsi turun, kemonotonan dan keckungan kurva, nilai ekstrim maka kita dapat menggambar grafik fungsi fungsi aljabar secara mudah. Berikut adalah langkah-langkah menggambar grafik fungsi aljabar.

1.     Tentukan titik-titik potong kurva dengan subu koordinat (jika ada dan mudah ditentukan)
2.     Titik potong kurva dengan sumbu Y, syarat x = 0
3.     Titik potong kurva dengan sumbu X, syarat y = 0
4.     Tentukan nilai-nilai ekstrim
5.     Tentukan interval dimana fungsi naik dan interval dimana fungsi turun
6.     Tentukan interval dimana fungsi cekung ke atas dan interval dimana fungsi cekung ke bawah.
7.     Tentukan nilai fungsi f(x) untuk x posotif besar dan x negative besar.
8.     Tentukan titik bantu sejauh dibutuhkan. 

    Aplikasi Turunan Fungsi

      Aplikasi turunan fungsi yang sederhana ada pada model matematika yang berkaitan dengan nilai ekstrim, fungsi dapat ditentukan dengan berbagai persoalan kontekstual. Langkah-langkah umum penyelesaiannya sebagai berikut.

1. Tentukan variabel yang terlibat dalam  soal. Jika soal berbentuk soal  cerita, terlebih dahulu lakucarikan pemisalan.
2. berbentukTentukan mana yang akan dicari nilai ekstrim maximum dan  minimumnya. Umumnya hal ini dilakukan membuat persamaan agar fungsi yang dicari minimum atau maximumnya menjadi satu variabel. Jika diperlukan pada proses ini menggunakan cara subtitusi atau elimanasi.
3. Tentukan nilai stationer untuk menentukan nilai minimum atau nilai maximum fungsi.
4.  Jika soal berbentuk cerita, tafsiran jawaban yang diperoleh sehingga sungguh-sungguh menjawab persoalan yang terkandung dari soal cerita tersebut.